城、垣、堤、沟、堑、渠皆同术。术曰：并上下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。
汉《九章算术·商功》
【评】许多体积公式先秦的中国人已经熟知，现存文献则以《九章算术》为最早。这是纵截面为相等梯形的平截体的体积公式：V=(b1+b2)ah。
按：此术并上下广而半之者，以盈补虚，得中平之广。以高若深乘之(原本此下衍二十二字，戴震删)，得一头之立幂。又以袤乘之者，得立实之积，故为积尺。
《九章算术·商功》三国魏·刘徽注
【评】此为刘徽对城、垣、堤、沟、堑、渠体积公式的证明。以盈补虚或称出入相补是证明多面体体积公式的一种重要方法。
术曰：置垣积尺，四之为实。 ...... （共513字） [阅读本文]>>
中国历代文献精粹衰分术曰：各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一。不满法者，以法命之。汉《九章算术·衰分》【评】这是完整的比例分配算法。列衰即是相与率。设所分为A，列衰为ai(i=1，2，…n)，则每一
中国历代文献精粹(环田)术曰：并中外周而半之，以径乘之，为积步。汉《九章算术·方田》【评】这是《九章》提出的圆环的面积公式，历代沿用：S=(l1+l2)d。其中S，l1，l2，d分别是环田面积，外周，中周及径(d=r1
中国历代文献精粹刍童、曲池、盘池、冥谷皆同术。术曰：倍上袤，下袤从之;亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤;亦并下中、外周而半之，以为下袤。汉《九章算术·
中国历代文献精粹故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩，环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。汉《周髀算经》卷上若求邪至日者，以日下为勾，日高为股。勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日。汉
中国历代文献精粹勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。按：弦图，又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实①。以差实减弦实，半其馀，以差为从法，开方除之，复得勾矣。加差于勾，即
上一篇